(BOJ) 1010 다리 놓기

1010 다리 놓기

• 분류 : 수학, 동적계획법, 조합론

문제

재원이는 한 도시의 시장이 되었다.

이 도시에는 도시를 동쪽과 서쪽으로 나누는 큰 일직선 모양의 강이 흐르고 있다.

하지만 재원이는 다리가 없어서 시민들이 강을 건너는데 큰 불편을 겪고 있음을 알고 다리를 짓기로 결심하였다.

강 주변에서 다리를 짓기에 적합한 곳을 사이트라고 한다.

재원이는 강 주변을 면밀히 조사해 본 결과 강의 서쪽에는 N개의 사이트가 있고 동쪽에는 M개의 사이트가 있다는 것을 알았다. (N ≤ M)

재원이는 서쪽의 사이트와 동쪽의 사이트를 다리로 연결하려고 한다. (이때 한 사이트에는 최대 한 개의 다리만 연결될 수 있다.)

재원이는 다리를 최대한 많이 지으려고 하기 때문에 서쪽의 사이트 개수만큼 (N개) 다리를 지으려고 한다.

다리끼리는 서로 겹쳐질 수 없다고 할 때 다리를 지을 수 있는 경우의 수를 구하는 프로그램을 작성하라.

입력

입력의 첫 줄에는 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다.

그 다음 줄부터 각각의 테스트케이스에 대해 강의 서쪽과 동쪽에 있는 사이트의 개수 정수 N, M (0 < N ≤ M < 30)이 주어진다.

출력

각 테스트 케이스에 대해 주어진 조건하에 다리를 지을 수 있는 경우의 수를 출력한다.

예제 입력 1

3
2 2
1 5
13 29

예제 출력 1

1
5
67863915

Solution

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import java.util.*

private const val MAX = 30

private var T: Int = 0
private var N: Int = 0
private var M: Int = 0

private var DP = Array(MAX) {
    IntArray(30) {
        0
    }
}

fun main() {
    init()
    input()
}

private fun init() {
    // memoization
    // 조합공식 2번
    for (i in 0 until MAX) {
        DP[i][i] = 1
        DP[i][0] = 1
    }
    // 조합공식 1번
    for (i in 2 until MAX) {
        for (j in 1 until MAX) {
            DP[i][j] = DP[i - 1][j - 1] + DP[i - 1][j]
        }
    }
}

private fun input() = with(Scanner(System.`in`)) {
    T = nextInt()
    repeat(T) {
        N = nextInt() // 강의 서쪽에 있는 사이트의 개수 정수 N (0 < N < 30)
        M = nextInt() // 강의 동쪽에 있는 사이트의 개수 정수 M (0 < M < 30)
        solve(M, N)
    }
}

private fun solve(n: Int, r: Int) {
    println(DP[n][r])
}

Point of Thinking

• 서쪽의 사이트 N개에서 출발하여 동쪽의 사이트를 선택하는 조합 문제 이다.
  • 다시 말해, 동쪽의 사이트 M개 중 N개를 선택하는 경우의 수를 구하는 문제이다.
• 조합 공식을 사용하게 되면, 다리가 교차되더라도 동일한 사이트를 선택한 경우의 수는 1개이기때문에 고려하지않아도 된다.
• N과 M의 최대값은 30이므로, 30개 중 몇 개를 선택하였을 때의 값을 모두 계산해놓으면 입력받는 즉시 답을 출력해줄 수 있다.
  • 위의 init() 함수에서 메모이제이션을 수행하고 있다.
• 아래와 같은 조합공식을 코드로 이식하면 된다.

$_n C_0 = _n C_n = 1$

n과 r이 주어졌을 때, r이 0이거나 n과 같으면(아예 고르지않거나 or 다 고르거나) 경우의 수는 1이다.

$_{n+1} C_{r+1} = _n C_r + _n C_{r + 1}$

위 두가지 공식을 점화식으로 하여, DP 배열을 만들어 놓고 입력값이 주어지는 대로 출력하면 Accpeted.

References

• https://www.acmicpc.net/problem/1010